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Kehrwert [Beitrag #1387585] Wed, 10 July 2024 09:34 Zum nächsten Beitrag gehen
paule32 ist gerade offline  paule32
Beiträge: 696
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Senior Member
Hallo,

Def. Kehrwert:
Der Kehrwert von x ist die Zahl, die mit x multipliziert 1 ergibt.
Kehrwert von 2 ist (1 div 2). weil: 0,5 mul 2 = 1. ergibt.
Jede positives n e IN. hat einen Kehrwert, außer die null (0).

Der Kehrwert von -100 ist: 1 div -100 = -0,01.
Der Kehrwert von  100 ist: 1 div +100 = +0,01.

KW     |  KW   | SB   | KW mul KW = SB
-------+-------+------+-------------------------
-0,01 mul -100 = +1.  | minus mul minus = plus 1
+0,01 mul +100 = +1.  | plus  mul plus  = plus 1

ABER: KW von 9 ist (1 div 9).
                             __
KW von -9 = -(1 div 9) = -0,099.
    __
-0,099 mul -9 = 8,91  <-- peng

Jens
Re: Kehrwert [Beitrag #1387840 ist eine Antwort auf Beitrag #1387585] Wed, 10 July 2024 10:07 Zum vorherigen Beitrag gehenZum nächsten Beitrag gehen
Stefan Schmitz ist gerade offline  Stefan Schmitz
Beiträge: 3971
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Senior Member
Am 10.07.2024 um 11:34 schrieb Jens Kallup:

>  ABER: KW von 9 ist (1 div 9).
>                                __
>  KW von -9 = -(1 div 9) = -0,099.

Wie kommst du darauf? Richtig ist -0,111...
    __
>  -0,099 mul -9 = 8,91  <-- peng

Und da würde 0,899... herauskommen. Bei einer periodischen Zahl kann man
nicht einfach nach zwei Stellen aufhören.

Und -0,111... * -9 ist 0,999...(=1).
Re: Kehrwert [Beitrag #1387953 ist eine Antwort auf Beitrag #1387840] Wed, 10 July 2024 10:25 Zum vorherigen Beitrag gehenZum nächsten Beitrag gehen
paule32 ist gerade offline  paule32
Beiträge: 696
Registriert: October 2022
Senior Member
Am 10.07.2024 um 12:07 schrieb Stefan Schmitz:
>  Am 10.07.2024 um 11:34 schrieb Jens Kallup:
>  
>>  ABER: KW von 9 ist (1 div 9).
>>                                __
>>  KW von -9 = -(1 div 9) = -0,099.
>  
>  Wie kommst du darauf? Richtig ist -0,111...
>       __
>>  -0,099 mul -9 = 8,91  <-- peng
>  
>  Und da würde 0,899... herauskommen. Bei einer periodischen Zahl kann man
>  nicht einfach nach zwei Stellen aufhören.
>  
>  Und -0,111... * -9 ist 0,999...(=1).
>  


ich hatte das sicherlich fälschlicherweise so gedacht:

der KW von 9 ist 1/9.
             __
1 div 9 = 0,999.

in meiner Schulzeit hatte ich das mit der Periode so in Erinnerung, dass
das Perioden-Zeichen über die Folge geschrieben wird, an der sich nichts
mehr ändert - also eigentlich schon über die erste 9.
Da aber nach der 9 ja noch andere Objekte folgen können, habe ich die
Periode nach der zweiten und dritten 9 geschrieben, umso ersichtlich zu
machen, das dort die Periode anfängt.

Dann müsste also der KW wieder mit dem n aus IN multipliziert werden.
Dann wäre aus 1 div 9. 9 div 1 geworden, was dann den Ausdruck
              __
1/9 => 9 * 0,999 = 8,991.  ergibt. <-- hier: acht Komma neun neun eins
              __                       was gerundet 9 ergibt [1].
1/3 => 3 * 0,333 = 0,999.  ergibt. <-- hier: gerundet: eins: 1

[1] Es heißt aber in der Definition, das ein KW multipliziert mit dem
    Element n aus IN eingesetzt, eins (1) ergibt.

Für mich jetzt auf die schnelle drübergeschaut, ein Widerspruch.

Jens
Re: Kehrwert [Beitrag #1389820 ist eine Antwort auf Beitrag #1387953] Wed, 10 July 2024 14:44 Zum vorherigen Beitrag gehenZum nächsten Beitrag gehen
Carlos Naplos ist gerade offline  Carlos Naplos
Beiträge: 78
Registriert: November 2022
Member
Am 10.07.2024 um 12:25 schrieb Jens Kallup:
>  Am 10.07.2024 um 12:07 schrieb Stefan Schmitz:
>>  Am 10.07.2024 um 11:34 schrieb Jens Kallup:
>>
>>>  ABER: KW von 9 ist (1 div 9).

Ich würde hier nicht "div" schreiben, weil damit oft der ganzzahlige
Anteil des Ergebnisses der Division gemeint ist.

>>>                                __
>>>  KW von -9 = -(1 div 9) = -0,099.
>>
>>  Wie kommst du darauf? Richtig ist -0,111...
>>       __
>>>  -0,099 mul -9 = 8,91  <-- peng
>>
>>  Und da würde 0,899... herauskommen. Bei einer periodischen Zahl kann
>>  man nicht einfach nach zwei Stellen aufhören.
>>
>>  Und -0,111... * -9 ist 0,999...(=1).
>>
>  
>  
>  ich hatte das sicherlich fälschlicherweise so gedacht:
>  
>  der KW von 9 ist 1/9.
>                __
>  1 div 9 = 0,999.

Lies doch einfach mal, was Stefan geschrieben hat!

1/9 ist nicht 0,9(Periode, also mit dem Querstrich über der Neun)

1/9 = 0,111... = 0,1(Periode, Querstrich über der Eins)

Das siehst du, wenn du anfängst, schriftlich zu dividieren, wie du es in
der Schule gelernt hast.

>  
>  in meiner Schulzeit hatte ich das mit der Periode so in Erinnerung, dass
>  das Perioden-Zeichen über die Folge geschrieben wird, an der sich nichts
>  mehr ändert - also eigentlich schon über die erste 9.

Richtig. Der Überstrich bedeutet, dass sich die Ziffernfolge darunter
immer wiederholt.

Wenn der Strich z.B. über 7 Ziffern geht, wiederholen sich diese 7
Ziffern immer wieder.

Der Strich muss nicht bei der ersten Stelle nach dem Komma anfangen,
aber er muss bis zur letzten hingeschriebenen Ziffer gehen.

Wenn die Ziffern gleich sind, ist es egal, wo der Strich anfängt oder
über wie viele Ziffer er bis zum Ende geht.

Ob 1 oder 11 oder 111 hinter dem Komma immer wiederholt wird, ist egal.
Denn es hört ja nicht auf.

>  Da aber nach der 9 ja noch andere Objekte folgen können, habe ich die
>  Periode nach der zweiten und dritten 9 geschrieben, umso ersichtlich zu
>  machen, das dort die Periode anfängt.
>  
>  Dann müsste also der KW wieder mit dem n aus IN multipliziert werden.
>  Dann wäre aus 1 div 9. 9 div 1 geworden, was dann den Ausdruck
>                 __
>  1/9 => 9 * 0,999 = 8,991.  ergibt. <-- hier: acht Komma neun neun eins
>                 __                       was gerundet 9 ergibt [1].
>  1/3 => 3 * 0,333 = 0,999.  ergibt. <-- hier: gerundet: eins: 1
>  
>  [1] Es heißt aber in der Definition, das ein KW multipliziert mit dem
>       Element n aus IN eingesetzt, eins (1) ergibt.
>  
>  Für mich jetzt auf die schnelle drübergeschaut, ein Widerspruch.
>  
>  Jens
Re: Kehrwert [Beitrag #1390992 ist eine Antwort auf Beitrag #1389820] Wed, 10 July 2024 17:26 Zum vorherigen Beitrag gehenZum nächsten Beitrag gehen
paule32 ist gerade offline  paule32
Beiträge: 696
Registriert: October 2022
Senior Member
Am 10.07.2024 um 16:44 schrieb Carlos Naplos:
>
> Lies doch einfach mal, was Stefan geschrieben hat!
>
> 1/9 ist nicht 0,9(Periode, also mit dem Querstrich über der Neun)
>
> 1/9 = 0,111... = 0,1(Periode, Querstrich über der Eins)
>
> Das siehst du, wenn du anfängst, schriftlich zu dividieren, wie du es in
> der Schule gelernt hast.

in der Schule würde man folgendes machen:

1. Schritt:     1,0 ; 9 = 0,

2. Schritt:     1,0 : 9 = 0,1   | mul mit: 9
3. Schritt: -   0,9
4. Schritt: ---------------  | 9 bis zur 10 sind 1
5. Schritt: =  -0,10         | 0 herunter holen und 1 hinter 0,1 = 0,11

6. Schritt: -     10 : 9 = 0,111 | 1 hinter 0,11, denn 1 * 9 = 9
7. Schritt: -      9             | 9 bis 10 = 1, 1 gemerkt wird zu 0
8. Schritt: ------------------                                     ___
9. Schritt: =  -   10            | 0 herunter, 1 hinter 0,111 = 0,1111

.... usw. p.p. ...
                           ___
schriftlich:  1   / 9 = 0,1111.
KW:        +  0,1 * 9 = 0,9
--------------------------------
                      = 1,1111.
--------------------------------

Da man aber hier den ganzzahligen Rest oder Ergebnis (wie sagt man das
hier ?) erhalten möchte, habe ich das DIV genommen, was, wie Du schon
bemerkt hast, tjor: den ganzzahligen Anteil der Division erhält.

Somit ist: "((1 DIV 9) MUL 9) EQUALS 1".

Oder sehe ich da was ganz faösches - bin doch keine Maschiene, ich bin
ein Mensch aus Fleisch und Blut ! (kennste Den ?).

Jens
Re: Kehrwert (Typo entfernt) [Beitrag #1391007 ist eine Antwort auf Beitrag #1389820] Wed, 10 July 2024 17:28 Zum vorherigen Beitrag gehenZum nächsten Beitrag gehen
paule32 ist gerade offline  paule32
Beiträge: 696
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Am 10.07.2024 um 16:44 schrieb Carlos Naplos:
>
> Lies doch einfach mal, was Stefan geschrieben hat!
>
> 1/9 ist nicht 0,9(Periode, also mit dem Querstrich über der Neun)
>
> 1/9 = 0,111... = 0,1(Periode, Querstrich über der Eins)
>
> Das siehst du, wenn du anfängst, schriftlich zu dividieren, wie du es in
> der Schule gelernt hast.

in der Schule würde man folgendes machen:

1. Schritt:     1,0 ; 9 = 0,

2. Schritt:     1,0 : 9 = 0,1   | mul mit: 9
3. Schritt: -   0,9
4. Schritt: ---------------  | 9 bis zur 10 sind 1
5. Schritt: =  -0,10         | 0 herunter holen und 1 hinter 0,1 = 0,11

6. Schritt: -     10 : 9 = 0,111 | 1 hinter 0,11, denn 1 * 9 = 9
7. Schritt: -      9             | 9 bis 10 = 1, 1 gemerkt wird zu 0
8. Schritt: ------------------                                     ___
9. Schritt: =  -   10            | 0 herunter, 1 hinter 0,111 = 0,1111

.... usw. p.p. ...
                           ___
schriftlich:  1   / 9 = 0,1111.
KW:        +  0,1 * 9 = 0,9
--------------------------------
                      = 1,0111.
--------------------------------

Da man aber hier den ganzzahligen Rest oder Ergebnis (wie sagt man das
hier ?) erhalten möchte, habe ich das DIV genommen, was, wie Du schon
bemerkt hast, tjor: den ganzzahligen Anteil der Division erhält.

Somit ist: "((1 DIV 9) MUL 9) EQUALS 1".

Oder sehe ich da was ganz faösches - bin doch keine Maschiene, ich bin
ein Mensch aus Fleisch und Blut ! (kennste Den ?).

Jens
Re: Kehrwert (Typo entfernt) [Beitrag #1399172 ist eine Antwort auf Beitrag #1391007] Thu, 11 July 2024 12:20 Zum vorherigen Beitrag gehen
Carlos Naplos ist gerade offline  Carlos Naplos
Beiträge: 78
Registriert: November 2022
Member
Am 10.07.2024 um 19:28 schrieb Jens Kallup:
>  Am 10.07.2024 um 16:44 schrieb Carlos Naplos:
>>
>>  Lies doch einfach mal, was Stefan geschrieben hat!
>>
>>  1/9 ist nicht 0,9(Periode, also mit dem Querstrich über der Neun)
>>
>>  1/9 = 0,111... = 0,1(Periode, Querstrich über der Eins)
>>
>>  Das siehst du, wenn du anfängst, schriftlich zu dividieren, wie du es in
>>  der Schule gelernt hast.
>  
>  in der Schule würde man folgendes machen:
>  
>  1. Schritt:     1,0 ; 9 = 0,
>  
>  2. Schritt:     1,0 : 9 = 0,1   | mul mit: 9
>  3. Schritt: -   0,9
>  4. Schritt: ---------------  | 9 bis zur 10 sind 1
>  5. Schritt: =  -0,10         | 0 herunter holen und 1 hinter 0,1 = 0,11
>  
>  6. Schritt: -     10 : 9 = 0,111 | 1 hinter 0,11, denn 1 * 9 = 9
>  7. Schritt: -      9             | 9 bis 10 = 1, 1 gemerkt wird zu 0
>  8. Schritt: ------------------                                      ___
>  9. Schritt: =  -   10            | 0 herunter, 1 hinter 0,111 = 0,1111
>  
>  ... usw. p.p. ...

Richtig.
Du siehst, dass hinter dem Komma nur Einsen auftauchen und keine Neun.

>                             ___
>  schriftlich:  1   / 9 = 0,1111.

Das heißt, dass nach dem Komma erst mal eine Eins steht und dann Gruppen
von drei Einsen (die unter dem Querstrich) immer wieder angehängt werden.

Man hat also hinter dem Komma unendlich viele Einsen.

Wenn hinter dem Komma nur eine Eins mit Querstrich darüber steht, heißt
das, dass diese Eins immer wieder angehängt wird.
Also genau dasselbe.

>  KW:        +  0,1 * 9 = 0,9
>  --------------------------------
>                         = 1,0111.
>  --------------------------------

Man kann 0,9 zu allem möglichen hinzuaddieren oder es lassen.
Einen Sinn, es hier zu tun, sehe ich nicht.

>  
>  Da man aber hier den ganzzahligen Rest oder Ergebnis (wie sagt man das
>  hier ?) erhalten möchte, habe ich das DIV genommen, was, wie Du schon
>  bemerkt hast, tjor: den ganzzahligen Anteil der Division erhält.

Das möchte man hier nicht.

Zur "Division mit Rest" ein Beispiel aus Wikipedia
(https://de.wikipedia.org/wiki/Division_mit_Rest):

9 : 4 = 2 Rest 1, da 9 = 4 × 2 + 1
(vier passt zweimal in neun und es bleibt eins übrig – der Rest ist also
eins)

Hier ist 2 der ganzzahlige Anteil und 1 der Rest.

Man schreibt 9 div 4 = 2 und 9 mod 4 = 1.

>  Somit ist: "((1 DIV 9) MUL 9) EQUALS 1".
falsch.

1 : 9 = 0 Rest 1
Denn 1 = 0 × 9 + 1

Also ist 1 div 9 = 0
Und damit (1 div 9) × 9 = 0 × 9 = 0

>  
>  Oder sehe ich da was ganz faösches - bin doch keine Maschiene, ich bin
>  ein Mensch aus Fleisch und Blut ! (kennste Den ?).
>  
Ja. Deshalb versuche ich, es dir zu erklären.
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